连续勒让德多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式
P n ( x | q ) = 4 ϕ 3 ( q − n q n + 1 q 1 / 4 e i θ a 1 / 4 e − i θ q − q 1 / 2 − q ; q , q ) {\displaystyle P_{n}(x|q)=\;_{4}\phi _{3}\left({\begin{matrix}q^{-n}&q^{n+1}&q^{1/4}e^{i\theta }&a^{1/4}e^{-i\theta }&\\q&-q^{1/2}&-q\end{matrix}};q,q\right)}
令连续q勒让德多项式 q->1 得勒让德多项式
lim q → 1 P n ( x | q ) = P n ( x ) {\displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)}
lim q → 1 P 5 ( x | q ) = P 5 ( x ) {\displaystyle \lim _{q\to 1}P_{5}(x|q)=P_{5}(x)}
由定义， P 5 ( x | q ) = 1 + ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q 6 ) ( 1 − q 7 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 5 / 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 9 / 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 5 / 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 9 / 4 x + i 1 − x 2 ) q 3 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 + q ) − 1 ( 1 + q 3 / 2 ) − 1 ( 1 + q 5 / 2 ) − 1 ( 1 + q ) − 1 ( 1 + q 2 ) − 1 ( 1 + q 3 ) − 1 + ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q − 2 ) ( 1 − q 6 ) ( 1 − q 7 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 5 / 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 9 / 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 13 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 5 / 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 9 / 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 13 4 ( x + i 1 − x 2 ) − 1 ) q 4 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 + q ) − 1 ( 1 + q 3 / 2 ) − 1 ( 1 + q 5 / 2 ) − 1 ( 1 + q 7 / 2 ) − 1 ( 1 + q ) − 1 ( 1 + q 2 ) − 1 ( 1 + q 3 ) − 1 ( 1 + q 4 ) − 1 + ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q − 2 ) ( 1 − q − 1 ) ( 1 − q 6 ) ( 1 − q 7 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 5 / 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 9 / 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 13 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 17 4 ( x + i 1 − x 2 ) ) ( 1 − q 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 5 / 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 9 / 4 x + i 1 − x 2 ) ( 1 − q 13 4 ( x + i 1 − x 2 ) − 1 ) ( 1 − q 17 4 ( x + i 1 − x 2 ) − 1 ) q 5 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 −
