其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
G2 F4E6 E7E8
劳仑兹群
庞加莱群
环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)
在数学中，群 <,*> 定义为集合 和叫做“乘积”并指示为中缀 "*" 的 上的二元运算。乘积服从下列规则(也叫做公理)。设 , 和 是 的任意元素。则:
阿贝尔群还服从额外的规则:
封闭性是二元运算定义的一部分，因此 A1 经常省略。
= {1,-1} 是乘法下的一个群，因为对于所有 中的元素 , , :
整数集 Z 和实数集 R 是在加法 '+' 下的群，对于所有 Z 或者 R 中的元素 , 和 :
实数集 R 不是乘法 '*' 下的群。对于所有 R 中的 , 和 :
实数集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。
A3 和 A4 可以被替代为:
还可以替代为:
这些看起来更弱的公理对天然的蕴含于 A3 和 A4 中。我们现在证明逆过来也是真的。
定理: A1 和 A2 ，A3’ 和 A4’ 蕴含 A3 和 A4。
。假设给出了左单位元 和 中的 ，根据 A4’存在一个 使得 * = 。
我们欲证明的是 * = 。根据 A4’存在 中的一个 有着:
所以:
这确立了 A4。
这确立了 A3。
定理: A1 和 A2，A3’’和 A4’’蕴含 A3 和 A4。
。类似上述。
定理 1.4: 群 <,*> 的单位元是唯一的。
: 假设 和 是 的两个单位元。则
在讨论和比较不同的群的时候， 指示特定群 <,*> 的唯一单位元。
定理 1.5: <,*> 中每个元素的逆元是唯一的。
: 假设 和 是 的元素 的两个逆元。则
没有歧义性的，对于所有 中的，我们指示 的唯一逆元为 -1。
定理 1.3: 对于所有 中元素 ,，存在唯一的 中的 使得 * = 。
。的确存在至少一个这种 ，因为如果我们设 = -1*，则 在 中(通过 A1，闭包)并且:
为了证明这是唯一性的，如果 * = ，则
类似的，对于所有 中的 ,，存在唯一的一个 中的 使得 * = 。
定理 1.6: 对于所有群 中的元素 ，( -1) -1 = 。
。 -1* = -1*( -1) -1=。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
定理 1.7: 对于所有群 中元素 ,，(*) -1 = -1* -1。
。(*)*( -1* -1) = *(* -1)* -1 = *e* -1 = * -1 = 。结论得出自定理 1.4。
定理 1.8: 对于所有群 中的元素 , 和 ，如果 * = *，则 = ；并且如果 * = *，则 = 。
。如果 * = * 则:
如果 * = * 则
对于 ,*> 中的 ， 使用了加法符号，我们有:
并且:
群 中的元素 的阶是最小正整数 使得 。有些它写为“o()=”。 可以是无限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 阶的群是阿贝尔群。换句话说，如果所有群 中的元素 都有 *= 成立，则对于所有 中的 ,，* = *。
。设 , 是群 中任何 2 个元素。由 公理 A1 可知 (*) 是群 的元素，所以 (*) 是群 的 2 阶元素
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
。设 , 是群 中任何 2 个元素。通过 A1，* 也是 的成员。使用给定条件，我们知道 (*)*(*) = 。因此:
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
群 的阶，通常指示为 || 或偶尔指示为 o()，在 <,*> 是有限群的情况下是集合 中元素的数目。如果 是无限集合，则群 <,*> 有等于 的势的阶，而且是无限群。
的子集 被称为群 <,*> 的子群，如果使用相同的算子 "*"，并限制于子集 内， 满足群公理。因此如果 是 <,*> 的子群，则 <,*> 也是群，并在限制于 内，满足上述定理。子群 的阶是 中元素的数目。
群 的真子群是不同于 的子群。 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 的元素的 的真子集。
定理 2.1: 如果 是 <,*> 的子群，则 在 中的单位元 同一于 (,*) 中的单位元 。
。如果 在 中，则 * = ；因为 必定也在 中，* = ；所以通过定理 1.4， = 。
定理 2.2: 如果 是 的子群，并且 是 的元素，则 在 中的逆元同一于 在 中的逆元。
。设 和 是 的元素，使得 * = ；因为 必定也在 中，* -1 = ；所以通过定理 1.5， = -1。
给定 的子集 ，我们经常想要确定 是否也是 的子群。一个手头的定理对无限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 是 的非空子集，则 是 的子群，当且仅当对于所有 中的 ,，* -1 在 中。
。如果对于所有 中的 , ，* -1 在 中，则
因此，满足了闭包、单位元和逆元公理，而结合律是继承来的，所以 是子群。
反过来说，如果 是 的子群，则它满足群公理。
两个或更多个子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 的子群的任何非空集合的交集是子群。
。设 {} 是 的子群的集合，并设 K = ∩{}。通过定理 2.1， 是所有 的成员；因此 非空。如果 和 是 的两个元素，则对于所有 ，
因此对于 中的所有 , ，* -1 在 中。接着通过前面的定理，=∩{} 是 的子群；并且事实上 是每个 的子群。
给定一个群 <,*>，定义 * 为 ², ***...* ( 次)为 ，并定义 0 = 。类似的，定义 - 为 ( -1)。则我们有:
定理 2.5: 设 是群 (,*) 的元素。则集合 { : 是整数 } 是 的子群。
。这种类型的子群叫做循环子群； 的幂的子群经常写为 <>，并称为 生成 <>。
如果 和 是 的子集，并且 是 的元素，我们写“*”来提及形如 * 的所有元素构成的 的子集，这里的 是 的元素；类似的，我们写“*”来指示形如 * 的元素的集合。我们写 * 表示形如 * 的元素构成的 的子集，这里的 是 的元素而 是 的元素。
如果 是 的子群，则 对于某个 中的 的左陪集是集合 *。右陪集是集合 *。
如果 是 的子群，则下面陈述而不带证明的有用定理对所有陪集都成立:
定义群 的子群 的指标(写为“”)为 在 中不同的左陪集的数目。
从这些定理，我们可以推导出重要的拉格朗日定理，它有关于群的子群的阶:
对于有限群，它可以重申为:
