卡塔兰数

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:03:08 #整数数列,阶乘与二项式主题,置换,随机矩阵

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰(1814–1894)命名。历史上,清朝数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先发明这种计数方式,远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。

卡塔兰数的一般项公式为

C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) = ( 2 n ) ! ( n + 1 ) ! n ! {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!n!}}} 的另一个表达形式为

C n = ( 2 n n ) ( 2 n n + 1 )  for  n 1 {\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}\quad {\mbox{ for }}n\geq 1} 是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number#Second_proof。)

递推关系:

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是当 → ∞时,左式除以右式的商趋向于1。(这可以用!的斯特灵公式来证明。)

所有的奇卡塔兰数都满足 n = 2 k 1 {\displaystyle n=2^{k}-1} 令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个位、含个1、个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含个1、个0的位二进制数共有 ( 2 n n ) {\displaystyle {2n \choose n}} 个1、个0的2n位二进制数,扫描到第位上时有个0和个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有个1和个0。将及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个个0和个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。

从而 C n = ( 2 n n ) ( 2 n n + 1 ) = 1 n + 1 ( 2 n n ) {\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}} 的取值为多少,×的汉克尔矩阵: A i , j = C i + j 2 .   {\displaystyle A_{i,j}=C_{i+j-2}.\ } = 4 时我们有

进一步,无论的取值为多少,如果矩阵被移动成 A i , j = C i + j 1 .   {\displaystyle A_{i,j}=C_{i+j-1}.\ } = 4 时我们有

同时,这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

相关

  • 哈布斯堡哈布斯堡王朝(德语:Habsburg),也称哈普斯堡家族(Hapsburg),是欧洲历史上最为显赫、统治地域最广的王室之一。其家族成员曾出任罗马人民的国王和神圣罗马帝国皇帝(1273年—1291年,1298
  • 鲁特琴鲁特琴,也称琉特琴,是一种曲颈拨弦乐器。一般这个词主要指中世纪到巴洛克时期在欧洲使用的一类古乐器的总称,在这个时期深受人们的喜爱。在广义的乐器分类中,把类似的乐器统称为
  • 特尤斯特尤斯(Dyaus Pita,字面意思是“天父”) 婆罗门教-印度教中一个已经遗忘的神祇,天空之父,同时代表着印度哲学五大元素之一的阿迦奢(相等于古希腊哲学五元素之一的以太)。这个神在神
  • 加斯东·杜梅格皮埃尔-保罗-亨利-加斯东·杜梅格(Pierre-Paul-Henri-Gaston Doumergue,法语发音:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe U
  • 我们 (电影)我们可以指:
  • 曼弗瑞德·诺瓦克曼弗雷德·诺瓦克(Manfred Nowak,1950年6月26日-),著名国际人权法专家,现任教于奥地利维也纳大学法学院,第一位进入中国调查的联合国酷刑问题特派专员。
  • 黄绍箕黄绍箕(1854年-1908年),字仲弢,号漫庵,浙江瑞安人,清朝末期政治人物。其父黄体芳与张之洞是同榜进士。绍箕于光绪五年(1879年)中举人,光绪六年参加会试,殿试得二甲第六名进士,同年五月,改
  • CLV在光存储,CLV(Constant linear velocity,恒定线性速度、恒定线速度、恒线速度、等线速度)是用于光盘驱动器的额定转速限定符,并且还可以应用到可刻录光盘的写入速度。CLV意味着角
  • 三仁汤三仁汤,一方出自清朝的《温病条辨》,是祛湿剂中清热祛湿的方剂,有宣畅气机,清热利湿的功效,可以主治湿重于热之湿温病。可见的症状有:头痛恶痛,身重疼痛,胸闷不饥,午后身热,面色淡黄,舌
  • 张子滨张子滨(1948年-)是前台湾足球运动员、足球教练,司职守门员。他曾效力于南友足球队,并任教于台南市私立长荣高级中学。1986年,他带领中华台北女子足球代表队夺得大洋洲女子足球锦标