卡塔兰数

✍ dations ◷ 2025-09-10 11:51:38 #整数数列,阶乘与二项式主题,置换,随机矩阵

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814–1894）命名。历史上，清朝数学家明安图（1692年－1763年）在其《割圜密率捷法》中最先发明这种计数方式，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。

卡塔兰数的一般项公式为

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!n!}}$ 的另一个表达形式为

$C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}\quad {\mbox{ for }}n\geq 1$ 是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。（见https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number#Second_proof。）

递推关系：

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是当 → ∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数都满足 $n=2^{k}-1$ 令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个位、含个1、个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含个1、个0的位二进制数共有 ${2n \choose n}$ 个1、个0的2n位二进制数，扫描到第位上时有个0和个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有个1和个0。将及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个个0和个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而 $C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ 的取值为多少，×的汉克尔矩阵: $A_{i,j}=C_{i+j-2}.\$ = 4 时我们有

进一步，无论的取值为多少，如果矩阵被移动成 $A_{i,j}=C_{i+j-1}.\$ = 4 时我们有

同时，这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

相关

喂乳母乳哺育（Breastfeeding），亦称哺乳、授乳或母乳喂养，指的是女性以乳房喂食婴儿母乳的行为。婴儿有吮吸反射，因此可以吮吸乳房并吞咽母乳，专家建议在出生后一小时即可哺喂母乳，之后
州际公路系统州际公路系统（英语：Interstate Highway System），正式名称为艾森豪威尔全国州际及国防公路系统（Dwight D. Eisenhower National System of Interstate and Defense Highways），是美
粉青沙器粉青沙器（朝鲜语：분청사기／粉靑沙器 Buncheong Sagi */?）是朝鲜半岛传统陶瓷的一种，与朝鲜白瓷一起并称朝鲜王朝两大代表性瓷器。与以官窑为中心的高丽青瓷和朝鲜白瓷不同，粉青
省长 (加拿大)在加拿大，省长又称省总理和地区长官（英语：Premier，与联邦总理有共用称呼法语：Premier ministre），是加拿大各个省和地区政府职位最高的官员。现在加拿大有10位省长和3位地区长官。省
六氯化铀六氯化铀是一种无机化合物，化学式为UCl6，有放射性。六氯化铀可由五氯化铀和氯反应，或直接在真空中歧化得到。UCl6和无水氢氟酸在室温下反应，生成UF5：
李琛李琛，可以指：
俄勒冈屋 (加利福尼亚州)俄勒冈屋（英语：Oregon House）是位于美国加利福尼亚州尤巴县的一个非建制地区。该地的面积和人口皆未知。俄勒冈屋的座标为39°21′23″N 121°16′45″W / 39.35639°N 121.279
吕寅荣吕寅荣（Jennifer Yuh Nelson，1972年6月13日－）是一名韩国出生的美国女导演、喜剧演员和情节串连图板艺术家。她导演的首部作品为2011年动画电影《功夫熊猫2》。她是好莱坞首位单
帕尔贝利耶帕尔贝利耶（英语：Par Beliya），是印度西孟加拉邦Puruliya县的一个城镇。总人口6036（2001年）。该地2001年总人口6036人，其中男性3172人，女性2864人；0—6岁人口835人，其中男443人，女392人；
安德的游戏《安德的游戏》（英语：，又译《战争游戏》、《致命儿戏》）是一部于1985年出版的军事科幻小说，由美国作家奥森·斯科特·卡德所著，剧情设定于不久的未来，人类面临因类似昆虫而被称为虫