卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰(1814–1894)命名。历史上,清朝数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先发明这种计数方式,远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。
卡塔兰数的一般项公式为
的另一个表达形式为
是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number#Second_proof。)
递推关系:
它也满足
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为
它的含义是当 → ∞时,左式除以右式的商趋向于1。(这可以用!的斯特灵公式来证明。)
所有的奇卡塔兰数都满足令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个位、含个1、个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含个1、个0的位二进制数共有个1、个0的2n位二进制数,扫描到第位上时有个0和个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有个1和个0。将及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个个0和个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。
从而的取值为多少,×的汉克尔矩阵: = 4 时我们有
进一步,无论的取值为多少,如果矩阵被移动成 = 4 时我们有
同时,这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。