卡塔兰数

✍ dations ◷ 2025-04-02 08:34:07 #整数数列,阶乘与二项式主题,置换,随机矩阵

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814–1894）命名。历史上，清朝数学家明安图（1692年－1763年）在其《割圜密率捷法》中最先发明这种计数方式，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。

卡塔兰数的一般项公式为

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!n!}}$ 的另一个表达形式为

$C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}\quad {\mbox{ for }}n\geq 1$ 是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。（见https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number#Second_proof。）

递推关系：

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是当 → ∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数都满足 $n=2^{k}-1$ 令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个位、含个1、个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含个1、个0的位二进制数共有 ${2n \choose n}$ 个1、个0的2n位二进制数，扫描到第位上时有个0和个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有个1和个0。将及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个个0和个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而 $C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ 的取值为多少，×的汉克尔矩阵: $A_{i,j}=C_{i+j-2}.\$ = 4 时我们有

进一步，无论的取值为多少，如果矩阵被移动成 $A_{i,j}=C_{i+j-1}.\$ = 4 时我们有

同时，这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

相关

卡尔·巴特卡尔·巴特（Karl Barth，1886年5月10日－1968年12月10日），瑞士籍新教神学家，新正统神学的代表人物之一。John Bowden描述他是一位时代先知、教授、政治家和神学领袖。在德国求学期
印度教印度教是世界主要宗教之一，是南亚次大陆占主导地位的宗教，并包含许多不同的传统。印度教基于一种独有的知识或哲学观点。它包括了婆罗门教的湿婆派、毗湿奴派、沙克达教及其他
醛缩酶醛缩酶（英语：aldolase）是一种可以裂解羟醛的酶。包括类型：Tolan Laboratory at Boston UniversityEC 1.1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/14/15/16/17/18/19/20/21/22 · 2.1/2
黎明寺黎明寺（泰语：วัดอรุณ Wat Arun），又称作晓庙、郑王寺或郑王庙，是泰国首都曼谷市曼谷艾县“血脉之河”湄南河西畔的一所佛教寺院。它的全名为 วัดอรุณราชวราร
何塞·费勒何塞·费勒（英语：José Vicente Ferrer de Otero y Cintrón，1912年1月8日－1992年1月26日）出生于美国自治领地波多黎各圣胡安，为美国著名演员。1912年，费勒出生于美国自治领地波多
周记周记，顾名思义，是以“周”为单位的文字记录。用来记录一周以来发生的事情及感想。与日记之概念相同。更为普及的一种解释为老师布置的周末小作文。周记可以写人，写事。一般以记
克里斯汀·达登克里斯汀·达登（英语：Christine Darden，1942年9月10日－），美国数学家、数据分析家、航空工程师。其40年的科研生涯中大部分时间都在美国国家航空航天局（NASA）研究超音速飞行与音爆。
琵琶鼠鱼琵琶鼠鱼，俗称琵琶鼠、垃圾鱼、清道夫，是下列物种的别称，为外来入侵种，是常见的水族鱼：
若瑟-马里亚·德·埃雷迪亚若瑟-马里亚·德·埃雷迪亚（法语：José-Maria de Heredia，1842年11月22日－1905年10月3日），出生于古巴圣地亚哥-德古巴的法国诗人，高蹈派的代表人物之一。埃雷迪亚的父亲为西班牙种
米哈伊尔·赫鲁尼切夫米哈伊尔·瓦西里耶维奇·赫鲁尼切夫（俄语：Михаил Васильевич Хруничев，1901年－1961年）是苏联机械工程师，政治人物。工程兵技术中将。社会主义劳动英雄。