凹凸性 (几何)

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:12:06 #几何形状

在几何学中,一个几何图形可分为凸或凹的。例如多边形和多面体。其中,凸的多边形称为凸多边形、凹的多边形则可称为凹多边形或非凸多边形,多面体与多胞体亦然。然而在三维或更高维度的空间中,不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形,亦可能是星形几何图形,因此在三维或更高维度的空间中较常分为凸与非凸。

凸几何图形是指内部为凸集的几何图形,二维空间中的凸几何图形称为凸多边形、三维空间则称凸多面体。若一多胞形的内部为凸集,则称凸多胞形。

二维空间中的凸几何图形称为凸多边形,简单多边形的下列性质与其凸性等价:

凸几何图形的凸包与其边界相同。

凸多边形示例:正五边形

凸多面体示例:正十二面体

凹几何图形是指内部不是凸集的几何图形,在二维空间中,不是凸集的简单多边形,称为凹多边形(Concave polygon)或凹角。

凹多边形至少存在一个内角大于180度。

在三维空间中,不是凸的几何图形不一定会是凹几何图形,亦可能是星形多面体,因此在三维空间中较常分为凸与非凸。

凹多边形示例

凹多面体示例:凹鹞形柱

环形多面体

如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度,是严格凸的;如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部,也是严格凸的。

所有非退化三角形都是严格凸的。

星形几何图形是非凸几何图形的一个特例,其并未有一个明确的定义。在二维空间中,称为星形多边形,数学家Branko Grünbaum指出了两种由克普勒提出的定义:一种是具有自相交棱的正星形多边形,且自相交的棱不产生新的顶点,另一种是边可递的简单凹多边形。

星形多边形示例:五角星

星形多面体示例:大十二面体

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