导数

导数（英语：Derivative）是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数${\displaystyle f}$的自变量在一点${\displaystyle x_0}$上产生一个增量${\displaystyle h}$时，函数输出值的增量与自变量增量${\displaystyle h}$的比值在${\displaystyle h}$趋于0时的极限如果存在，即为${\displaystyle f}$在${\displaystyle x_0}$处的导数，记作${\displaystyle f^{\prime }(x_0)}$、${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)}$或${\displaystyle {\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}}$。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度:153。

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

对于可导的函数${\displaystyle f}$，${\displaystyle x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->f^{\prime }(x)}$也是一个函数，称作${\displaystyle f}$的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

设有定义域和取值都在实数域中的函数 ${\displaystyle y=f(x)}$。若 ${\displaystyle f(x)}$ 在点 ${\displaystyle x_0}$ 的某个邻域内有定义，则当自变量 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处取得增量 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$（点 ${\displaystyle x_0+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$ 仍在该邻域内）时，相应地 ${\displaystyle y}$ 取得增量 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y=f(x_0+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->f(x_0)}$；如果 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}$ 与 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$ 之比当 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}$ 时的极限存在，则称函数 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在点 ${\displaystyle x_0}$ 处可导，并称这个极限为函数 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在点 ${\displaystyle x_0}$ 处的导数，记为 ${\displaystyle f^{\prime }(x_0)}$，即：:117-118

也可记作 ${\displaystyle y^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x_0)}$、 ${\displaystyle {\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}}$、 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)}$或 ${\displaystyle {\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}}$:154。

对于一般的函数，如果不使用增量的概念，函数 ${\displaystyle f(x)}$ 在点 ${\displaystyle x_0}$ 处的导数也可以定义为：当定义域内的变量 ${\displaystyle x}$ 趋近于 ${\displaystyle x_0}$ 时，

的极限。也就是说，

${\displaystyle f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->x_0}{lim}\frac{f(x)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{x-<!--\; -\; -->x_0}}$:154

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设${\displaystyle P_0}$为曲线上的一个定点，${\displaystyle P}$为曲线上的一个动点。当${\displaystyle P}$沿曲线逐渐趋向于点${\displaystyle P_0}$时，并且割线${\displaystyle P{P}_0}$的极限位置${\displaystyle P_{0}T}$存在，则称${\displaystyle P_{0}T}$为曲线在${\displaystyle P_0}$处的切线。

若曲线为一函数${\displaystyle y=f(x)}$的图像，那么割线${\displaystyle P{P}_0}$（粉红色）的斜率为：

${\displaystyle \tan <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}}$

当${\displaystyle P_0}$处的切线${\displaystyle P_{0}T}$（橘红色），即${\displaystyle P{P}_0}$的极限位置存在时，此时${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}$，${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，则${\displaystyle P_{0}T}$的斜率${\displaystyle \tan <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$为：

${\displaystyle \tan <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\tan <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->f(x_0)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}}$

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说${\displaystyle f^{\prime }(x_0)=\tan <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，因此，导数的几何意义即曲线${\displaystyle y=f(x)}$在点${\displaystyle P_0(x_0,f(x_0))}$处切线的斜率。:117:153

若函数 ${\displaystyle f(x)}$ 在其定义域包含的某区间 ${\displaystyle I}$ 内每一个点都可导，那么也可以说函数${\displaystyle f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle I}$ 内可导，这时对于 ${\displaystyle I}$ 内每一个确定的${\displaystyle x}$ 值，都对应着 ${\displaystyle f}$ 的一个确定的导数值，如此一来就构成了一个新的函数${\displaystyle x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->f^{\prime }(x)}$，这个函数称作原来函数 ${\displaystyle f(x)}$ 的导函数:155，记作：${\displaystyle y^{\prime }}$、${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 或者 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)}$。值得注意的是，导数是一个数，是指函数 ${\displaystyle f(x)}$ 在点 ${\displaystyle x_0}$

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